从，有一个问题，说开来

2021-04-05 20:36来源：互联网编辑：小狐

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有一个问题，不知是谁提出来的。这个问题是：要把十棵树栽种成十行，每行都有三棵树。问应该怎么栽种？

从，有一个问题，说开来（图1）

笛沙格定理我以前讲过很多次，这里先给出这个定理的结论：如上图所示，如果两个三角形ABC和A“B”C“对应顶点（A与A”B与B“C与C”的连线交于一点S，那么它们的对应边（AB与A“B”BC与B“C”CA与C“A”的交点（X、Y、Z）就位于一条直线（XYZ）上；逆定理也成立。

从，有一个问题，说开来（图2）

1让我们来数一数上图中一共有几个三条直线经过的点，几条过三个点的直线。这样的点图中绿色共有十个：A、B、C、A“B”C“S、X、Y、Z。这样的直线也有十条：SAA”SBB“SCC” XBA、 XB“ A”XYZ、CBY、C“B”Y、CAZ、C“A”Z，它们都经过且只经过三个点，比如直线CBY所经过的点就是表示这条直线的字母C、B、Y。所以，我们只需在上图这样的十个点处种树，就可以做到把十棵树排成十行，每行不多不少有三棵树。栽树问题解决了，但数学知识并没有结束，我们一同来探讨。

2上图中的十个点都是彼此等价的。比如说，可以把上图中的点S当作射影中心，从它出发的三条直线分别经过三角形ABC和A“B”C“的对应顶点A与A”B与B“C与C”，从而有三条对应边交点共线的结论，即笛沙格定理。其实，点X也有这样的功能：如下图所示，从点X发出的三条直线XBA、XB“A”XYZ分别经过三角形BB“Y和AA”Z的对应顶点B与A，B“与A”Y与Z而这两个三角形的对应边 BB“ 与AA”B“Y与A” Z，YB与ZA的交点S、C“C当然共线直线SCC”，即笛沙格定理仍然成立 射影中心为X

从，有一个问题，说开来（图3）

请您注意，我在上图中，已经把上上图中那两个涂以紫色的三角形去了色，而把这里所讨论的两个三角形 BB“Y和AA”Z内部涂以另一种颜色（绿色）后面我也是这样做的，这样看起来清楚明白。

3我们再换个中心。如下图所示，观察青色和蓝灰色的两个三角形ZAX和CSB有部分重叠，不用管它一定要注意我写这两个三角形时三个字母的顺序，从这个顺序可以看出哪个顶点与哪个顶点是两个三角形的对应顶点，这里，点Z与C对应，点A与S对应，点X与B对应。那么，Z与C的连线经过点AA与S的连线也经过点AX与B的连线仍然经过点A即两个三角形 ZAX和CSB对应顶点连线都经过点A从而点A是射影中心

从，有一个问题，说开来（图4）

根据笛沙格定理，这两个三角形的对应边的交点应该共线。我们来看一看是不是这样：对应边 ZA与C“S交于点C，对应边AX与SB”交于点B，对应边XZ与B“C”交于点Y，这三个交点C、B、Y确实在一条直线上（直线CBY）

4）我们再多举几个例子。比如以点C为射影中心，那么，这时从它发出的三条射线为CAZ、CBY、CSC于是，相关的两个三角形有可能是ABS和ZYC如下图所示。三对对应顶点（A与Z，B与Y，S与C连线交于点C，三对对应边（AB与ZY，BS与YCSA与CZ）分别交于三点（X、BA，三点 X、BA共线（直线XBA。

从，有一个问题，说开来（图5）

5 若我们把类似上面给出的每一种情况都称为一种笛沙格构形，那么，由这十个点和十条直线组成的图形中，一共有多少种笛沙格构形呢？结论是120种这里不具体讨论请您自己根据下图所示的这种笛沙格构形，找出射影中心是哪个点，射影直线是哪条直线？对应顶点连线交于一点的两个三角形的三组对应边交点共线，这条所共之直线姑且称作射影直线。答案：A；YB“C”

从，有一个问题，说开来（图6）

6我们还可以更进一步。在上一图两个涂色三角形的基础上，再增加一个三角形BBY，如下图所示。我们来研究这三个三角形：①BSC， ②BBY， ③XAZ。

从，有一个问题，说开来（图7）

首先， ①BSC与 ②BBY关于点B是透视的，我们把这两个三角形对应边用同一种颜色标出，不同的对应边标以不同的颜色，比如 BS 与BB是对应边，都用蓝色标出，而BC与BY是另一组对应边，被标以绿色。其次，①BSC与③XAZ是关于点A透视的，这个我们上一条研究过（B与X连线过A，S与A连线过A，C与Z连线过A）BS与XA是对应边，也都标以蓝色，BC与XZ是另一组对应边，被标以绿色。

从，有一个问题，说开来（图8）

再来看 ②BB“Y与③XA”Z。点B与X对应，点B“与A”对应，点Y与Z对应，这三组对应点的连线交于点X，即两个三角形关于点X是透视的。好的，注意，我这里特意把三个射影中心的字母标以红色（B，A，X）而这三个点正好就是某条直线上的三个点。这不是巧合吗。我们可以再来看另一个例子。

7可以再试一试下面这三个两两透视的三角形：①BSA， ②BB“X， ③YC”Z。首先， ①BSA与②BB“X关于点B是透视的；其次， ①BSA与③YC”Z关于点C是透视的；那么， ②BB“X与③YC”Z的透视中心一定是直线CBY上除B和C外的第三个点Y。

从，有一个问题，说开来（图9）

我们可以验证一下： ②BB“X与③YC”Z的第一个字母B与Y的连线过点Y是吧；第二个字母B“与C”的连线也经过Y吧；第三个字母X与Z的连线还是经过Y。所以，这两个三角形的透视中心就是Y。

8还有一条不易发觉的性质，这里简单介绍一下。上图中三个三角形中每两个三角形三组对应边交点位于一条直线上，于是三个三角形两两组合，可以产生三条这样的直线，而这三条直线却是同一条直线。就以上图为例，①BSA与③YC“Z三组对应边BS与YC”SA与C“Z，AB与ZY的交点B”A“X位于直线XA”B“上。②BB”X和③YC“Z 三组对应边BB”与YC“B”X与C“Z，XB与ZY的交点B”A“X位于直线XA”B“上。 ①BSA和②BB”X三组对应边交点连线也是直线XA“B”

本文相关词条概念解析：

直线

直线（line），是它上面的点一样的平放着的线。《几何原本》欧几里得著。直线，是一个点在平面或空间沿着一定方向和其相反方向运动的轨迹；不弯曲的线。直线是几何学的基本概念，在不同的几何学体系中有着不同的描述。在日常生活当中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线、都给人以直线的形象，而数学中的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量完全确定。